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- 我们来抛硬币决定吧 - 等等,你确定抛硬币结果是随机的?

图片:Yestone 邑石网正版图库

个人觉得抛硬币并不是真正的随机事件,和抛硬币时候的各种状态参量有关系,那么到底什么是真正的随机?

王小龙,数学,计算机视觉,图形图像处理

要搞明白“抛硬币是随机事件”这个论断,就要弄清楚两个问题:(1)什么是随机事件?(2)抛硬币出现正反面的原理是什么?下面分别解释一下:

一、什么是随机事件

一个事件是随机事件,有两个关键要素:一是可以大量实验,各次实验结果之间无依赖性;二是试验结果有某种统计特性。

咱们假设一个硬币是均匀的,一个人不断重复抛它,抛了 N 次,边抛边记录结果,发现:

(1) 在抛的所有次数中,出现正面朝上的比例为 1/2;

(2) 在抛第 i 次(i=1,...,N-1)出现正面(或者反面)朝上的前提下,第 i+1 次抛硬币正面朝上的比例仍然为 1/2,即每次实验的结果不依赖(独立于)上一次实验结果;

(3) 在抛第 i 次(i=1,...,N-2)出现正面(或者反面)朝上的前提下,第 i+2 次抛硬币正面朝上的比例仍然为 1/2,即每次实验的结果不依赖上上次实验结果;

(4)在抛第 i 次和 i+1 次(i=1,...,N-2)出现正面、正面(或者正面、反面;反面、正面、反面、反面)朝上的前提下,第 i+2 次抛硬币正面朝上的比例仍然为 1/2,即每次实验的结果不依赖上次和上上次实验的联合结果;

等等等等...

有了这些统计结果,这个人就可以说两句话:

(1)我每一次抛硬币,都是独立事件;

(2)我抛硬币,正面朝上的概率为 1/2。

在抛硬币实验中,第一个条件满足,因为无论是谁,在哪做这个实验,都可以通过上述记录发现各次实验结果之间无依赖性,特别是,排除了正反正反正反正反...这种确定性结果。第二个条件也满足,因为 1/2 这个正面朝上的比率固定不变,并且随着抛硬币次数增多可以无穷接近这一值。

因此,根据最开始的定义,我们说抛硬币是一个随机事件。

二、 抛硬币的原理

为了简化论述,咱们首先假设有一个抛硬币的机器,它只有一个自由度,就是抛硬币的角度。其他对硬币飞行有影响的条件都不变,如初始姿态,力度、环境中的风速等,初始时硬币姿态总是正面朝上。硬币正反面是均匀的,地面也是特制而成,硬币着地后会立即被粘住,不会乱滚。如果记抛射角度为 x,硬币落地前的翻滚次数可记为函数 g(x)最终朝向为 f(x)。f(x)=0 表示最终正面朝上,f(x)=1 表示最终反面朝上。我们可以认为 f(x)就是 g(x)的整数部分:g(x)的整数部分为偶数时 f(x)=0,g(x)的整数部分为奇数时 f(x)=1。

有理由相信,g(x)和 f(x)都是确定的函数,不具有随机性,可以用经典力学来刻画,如下图所示。虽然 g(x)通常是由复杂的物理模型决定,如果更仔细地观察函数 f(x),例如当角度在 0 度附近时,我们很可能会发现,当角度在区间[0,0.01]度时函数值为 1,在[0.01,0.02]度时函数值为 0,在[0.02,0.03]度时函数值又为 1。这些函数值相同的小区间的长度可能会有差异,但相邻的区间差异不会太大,因为硬币是均匀的,不应偏袒哪一方。

如果我们假设上述各个区间都一样长,长度都是 0.01,机器的抛射角度 x 在[0,2]度之间等可能选择,函数 f(x)的值就约等于 100x 的整数部分是奇数还是偶数,如果是偶数就取 0(正面),否则就取 1(反面),换句话说,抛硬币的结果就等价于在 0-200 内等可能选一个数,然后看它的整数部分是奇数还是偶数。对于这后一个问题,如果进行大量实验,出现奇数和偶数的可能性是显然相同的,因为奇数和偶数覆盖的总区间长度都是 100;等价地,咱们的抛硬币问题的答案是当抛射角度在[0,2]之间等可能选择时,如果进行大量实验,出现正面和反面的可能性相同。

上面所述的情况可能过于理想,但是,只要(a)函数 f(x)中各个等值小区间足够小(b)在各个不同抛射角度附近,等于 0 的小区间和等于 1 的小区间的总长度基本相等。那么:

  • (1) 即使机器的抛射角度不是等可能选取的,比如它更喜欢以 10 度角抛出,更不喜欢以 20 度角抛出,结果不变,这意味着不同的机器(或者人)虽然偏好不同,但是抛硬币的结果一样;
  • (2) 各个单独小区间的长度可以不同,结果不变;
  • (3) 虽然函数 g(x)很复杂,但是函数 f(x)具有十分简单的震荡结构,这意味着我们不用特别纠结抛硬币的姿态、力度、环境中的风速等不同因素,它们本质上没有区别。

抛硬币问题满足条件(a)(b),其中条件(a)由硬币小巧、轻盈、在空中易翻身的特性所保证,条件(b)由硬币正反面的均匀性所保证,由工艺决定。

下面我们再设想一个有两个自由度的抛硬币机,比如可以控制抛射角度和力量大小,类似地,我们可以获得一个确定函数 g(x,y)和 f(x,y),分别表示按照角度 x 和力量 y 抛硬币,硬币在空中翻滚的次数和最终朝向。两个函数的图像类似于下图,其中 x 坐标轴朝下,y 坐标轴朝。在左图所画的 g(x,y)中,角度越大,力量越大的点的值越大,表示硬币翻滚次数越多。经过取整和取奇偶操作后,右图中的 f(x,y)出现了复杂的模式,但它依然满足上述条件(a)(b)。因此,在 f(x,y)中的任意二维小区域中,硬币正面和反面朝上的比率仍然相同。这意味着具有不同偏好的机器或者人,按照自己的喜好抛硬币,甚至随意变换喜好,在其覆盖的 x、y 的足够大的局部参数区域中,硬币正面和反面朝上的比率仍然相同。

对于更多的参数,其推理是类似的。

总而言之,我们可以把抛硬币的角度、力量、周围风速等许多复杂因素带入一个物理模型,获得硬币翻滚周数的函数,然后计算其奇偶性。而各个参数稍微一变化,其奇偶性就会改变,并且导致结果是奇数和偶数的参数把参数空间划分为了十分密集的小区域,并且覆盖的区域各处都基本一样大,其宏观结果就是随意抛硬币,在参数空间中落在奇数和偶数区域的可能性一样。

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