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开普勒是如何得出开普勒三大定律的?

图片:Lars_Nissen_Photoart / CC0

吴牛喘月,公众号“科学史话”

这事得从开普勒的老师第谷说起。

奇葩师徒

师徒俩都是奇葩,而且完全相反。

第谷是世袭贵族,出身高贵,开普勒的母亲则热衷于巫术;第谷土豪,土豪到什么程度,花金子论吨,最后喝多了没去厕所憋死的,开普勒是穷逼,穷到什么程度,穷到养不起孩子,最后在讨薪路上病饿而死;第谷娶了一个农家女,和家族断绝了关系,开普勒娶了一个名门寡妇,打算攀龙附凤;第谷目光如炬,可能是有史以来视力最好的人,开普勒则视力不佳;第谷是占星术大师,在国王贵族之间长袖善舞,开普勒则废除了占星术,使得自己衣食无着。

可是就是这么两个完全相反的人,却走到了一起,开辟了天文学的辉煌。

第谷不但擅于观测星空,而且长于识人。1596 年,开普勒写了一本书《宇宙的神秘》,书的内容大多是开普勒的狂想,没有什么学术价值,却引起了第谷的注意,第谷准备传之于衣钵。

也怪不得第谷如此求贤若渴,第谷虽然是望远镜发明之前最伟大的星空观测者,其理论思维却是堪忧,凭着他对星空的了解,他当然知道“地心说”的荒谬,不过他也不完全支持哥白尼的“日心说”,因为依据他的观测数据,“日心说”也不能完美解释漫天星辰,他自己提出了一种介于地心说和日心说之间的学说,可是这更加让他糊涂,连他自己都说服不了。

而开普勒这种天马行空的思想正是他需要的,所以他打算把开普勒纳入门下。

起初,师徒两人合作愉快,老师谆谆教导,学生谦虚好学。不过,开普勒的名门寡妇却看到了机会,鼓励开普勒自立门户,对于长期在家中没地位的开普勒来说,老婆的话不啻于圣旨,立刻就写信和第谷决裂,还四处散步第谷的谣言。

这也多亏此时第谷年事已高,心性平和,这要是放在当年,第谷年轻气盛时,早拔剑和开普勒决斗了,第谷的鼻子就是年轻时与人决斗被人削掉的,后来做了一个假鼻子。

第谷爱才心切,写信请开普勒回来,开普勒也很快幡然悔悟,给第谷写信道歉,师徒两人和好如初,不过,第谷并没有接受开普勒的道歉,并不是第谷心高气傲,而是第谷认为这只是年轻人一时冲动,不值一提,并不值得道歉。

但是师徒两人的缘分却没有多久了,不久,第谷就在一场宴会后身亡,原因有点奇葩。宴会之上,高朋满座,自是酒到杯干,不过,喝多了,难免会想去厕所方便一下,这对于任何人都很正常,但是对于第谷来说有点难堪,作为贵族,第谷觉得宴会中离席去厕所有点不合礼仪,所以就一直憋着,结果就憋死了。

第谷去世后,谣言四起,甚至有人说是开普勒谋害了第谷,原因就是为了霸占第谷的天文台,但是开普勒却没有在意,因为对老师最好的纪念就是完成他未竟的事业。

天空立法者

第谷生前曾对开普勒说过“除了火星所给与你的麻烦之外,其他一切麻烦都没有了。火星我也要交托于你,它是够一个人麻烦的。”为什么第谷如此看重火星,火星又有什么麻烦呢?

在群星之中,最神秘莫测的就是火星轨道,火星的观测数据最丰富,但是和地心说日心说的理论推导差别也最大,因此第谷创造了自己的学说,这些学说中哪个才是正确的呢?这就要靠开普勒来验证了。

地心说第一个出局了,日心说呢?也有些问题,那么第谷自己的理论呢?这个理论更乱,问题出在了哪里了呢?

问题就出在了最基本的假设上,无论托勒密还是哥白尼,包括第谷,都认为行星的轨道是圆形的,而且做匀速圆周运动,这个假设就是错的。

经过四年的磨砺,开普勒发现火星的轨道并不是圆形,而是椭圆,太阳就位于椭圆的一个焦点上,这就是开普勒行星第一定律。

而且火星也没有做匀速运动,而是在近日点运行速度快,远日点速度慢,但是在相同时间内扫过的面积是相等的,这就是开普勒行星第二定律。

得到两个定律之后,开普勒并没有止步,因为他知道在星空中还隐藏着一条定律。

开普勒感觉行星的运行周期应该和轨道之间有某种关联,可是并不知道行星轨道的具体数据,开普勒想了一个巧妙的办法,他把地球和太阳的平均距离作为一个距离单位来计算各个行星轨道的半径,同时把地球的公转周期作为时间单位来计算行星的公转周期,那么就得到了下面这张表。

水星 金星 地球 火星 木星 土星

周期(T) 0.241 0.615 1 1.881 11.862 29.457

半径(R) 0.381 0.723 1 1.524 5.023 9.539

那么行星公转的周期和半径又有什么关系呢?又经过了近十年的思考,开普勒终于发现了它们之间的奥秘。

开普勒发现周期的平方和半径的立方是相等的,这就是开普勒第三定律,就如同下表一样。

水星 金星 地球 火星 木星 土星

周期(T) 0.241 0.615 1 1.881 11.862 29.457

半径(R) 0.381 0.723 1 1.524 5.023 9.539

T² 0.058 0.378 1 3.54 140.7 867.7

R³ 0.058 0.378 1 3.54 140.85 867.98

至此,开普勒已经勘破了星空的奥秘,从一个星空观察者成为了“天空立法者”。

开普勒的遗憾

从开普勒成为“天空立法者”的经历中,可以看出开普勒的数学非常好,可以从浩如烟海的数据中找到行星运行规律,这水平堪比后来的泡利,泡利也是在无尽的数据中找到了泡利不相容原理,但是开普勒的数学还是不够好,因为他不会计算椭圆的面积。

开普勒的行星运动定律距离万有引力只是一步之遥,如果假设行星轨道时圆形的话,我们用中学知识就可以推导出万有引力定律,可是行星轨道是椭圆,要想推导出万有引力定律就需要运用到微积分知识,而微积分要等到牛顿出世才会有,所以开普勒只是指出了行星运动规律,而没有指出其背后的原因。

这个遗憾还算不了什么,毕竟爵爷是天选之子,一般人还真比不上他,但是下面这个遗憾才是开普勒的终生遗憾。

作为当时最伟大的天文学家,开普勒居然没有用过天文望远镜。望远镜发明之后,伽利略用来观测星空,短短几个月就超过了第谷一辈子的成就,开普勒也想用望远镜看一看,无奈动手能力差,磨不了望远镜需要的镜片,只好向伽利略借,没想到伽利略不借,不借望远镜,那么借镜片吧,伽利略还是不借。

开普勒一怒之下,设计了一种新望远镜,可是能画图并不代表能磨镜片,开普勒还是做不出来,所以,开普勒一辈子也没有用过望远镜,对于“天空立法者”来说,这实在是太遗憾了。

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